Question

5．如图，正三角形ABC的边长为3+$\sqrt{3}$，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，这两个正方形面积和的最小值是$\frac{9}{2}$，最大值是99-54$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，AB=3+$\sqrt{3}$，利用含30度的直角三角形三边的关系得AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$n，则$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+m+n+$\frac{\sqrt{3}}{3}$n=3+$\sqrt{3}$，所以n=3-m，S=m²+n²=m²+（3-m）²=2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，接着确定m的取值范围为6$\sqrt{3}$-9≤m≤3$\sqrt{3}$-3，然后根据二次函数的性质求出S的最小和最大值．

解答 解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=3+$\sqrt{3}$，
在Rt△ADN中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
在Rt△BPF中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$n，
∵AD+DE+EF+BF=AB，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+m+n+$\frac{\sqrt{3}}{3}$n=3+$\sqrt{3}$，
∴m+n=3，
∴n=3-m，
∴S=m²+n²=m²+（3-m）²=2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$
当点M落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，
在在Rt△ADN中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DN，AN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DN，
∴DN+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DN=3+$\sqrt{3}$，解得DN=3$\sqrt{3}$-3，
在Rt△BPF中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3$\sqrt{3}$-3）+3$\sqrt{3}$-3+EF+$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=3+$\sqrt{3}$，解得PF=6$\sqrt{3}$-9，
∴6$\sqrt{3}$-9≤m≤3$\sqrt{3}$-3，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S最小，S的最小值为$\frac{9}{2}$；当m=3$\sqrt{3}$-3时，S最大，S的最大值=2（3$\sqrt{3}$-3-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$=99-54$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{9}{2}$；99-54$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．