Question

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=2，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   8
4. D.
   16

Answer 1

C
分析：先连接BO，并延长交⊙O于点D，再连接AD，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=30°，而BD是直径，那么易知△ADB是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求BD，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．
解答：解：连接BO，并延长交⊙O于点D，再连接AD，如右图，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAD=30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ADB中，BD=2AB=4，
∴⊙O的半径是2，
∵⊙O的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，
∴正方形的边长==2，
∴S_正方形=2×2=8．
故选C．
点评：本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．