如图.在四边形ABCD中.BE=DF.AC和EF互相平分.∠B=90°．求证:四边形ABCD为矩形．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分，∠B=90°．
求证：四边形ABCD为矩形．

证明：如图，连接AF、CE，
∵AC和EF互相平分，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，AE∥CF，
∵BE=DF，
∴BE+AE=DF+CF，
即AB=CD，
∵AE∥CF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．

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如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E．设四边形BCFE的面积为S₁，四边形CDGF的面积为S₂，△AFG的面积为S₃．
（1）试判断S₁，S₂的关系，并加以证明；
（2）当S₃：S₂=1：3时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A′E′F′，且A′，F′两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4？若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）矩形ABCD的面积为______；
（2）第1个平行四边行OBB₁C的面积为______；
第2个平行四边形A₁B₁C₁C的面积为______；
（3）第n个平行四边形的面积为______．

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矩形ABCD中，AB=6，BC=2，过顶点A作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，若分成的三角形的面积等于矩形面积的

，则所分成的梯形的上底长为______．

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矩形的边长为10cm和15cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　）

A．6cm和9cm

B．5cm和10cm

C．4cm和11cm

D．7cm和8cm

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如图所示，一块砖的外侧面积为x，那么图中残留部分墙面的面积为______．

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阅读下述说明过程，讨论完成下列问题：
已知：如图所示，在?ABCD中，∠A的平分线与BC相交于点E，∠B的平分线与AD相交于点F，AE与BF相交于点O，试说明四边形ABEF是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
（2）∴AD∥BC．
（3）∴∠ABE+∠BAF=180°．
（4）∵AE、BF分别平分∠BAF、∠ABE，
（5）∴∠1=∠2=

∠BAF，∠3=∠4=

∠ABE．
（6）∴∠1+∠3=

（∠BAF+∠ABE）=

×180°=90°．
（7）∴∠AOB=90°．
（8）∴AE⊥BF．
（9）∴四边形ABEF是菱形．
…
问：①上述说明过程是否正确？
答：______．
②如果错误，指出在第______步到第______步推理错误，应在第______步后添加如下证明过程．