练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=
    2
    3
    x2    +bx+c经过B点，且顶点在直线x=
    5
    2
    上．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
    （3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
    分析：（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
    （2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
    （3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线y=
    2
    3
    x2    +bx+c的顶点在直线x=
    5
    2
    上，
    ∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=
    2
    3
    (x-
    5
    2
    )    2    +m（1分）
    ∵点B（0，4）在此抛物线上，
    ∴4=
    2
    3
    ×(-
    5
    2
    )    2    +m
    ∴m=-
    1
    6
    （3分）
    ∴所求函数关系式为：y=
    2
    3
    (x-
    5
    2
    )    2    -
    1
    6
    =
    2
    3
    x2    -
    10
    3
    x+4（4分）

    （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
    ∴AB=
    		OA2+OB2
    =5
    ∵四边形ABCD是菱形
    ∴BC=CD=DA=AB=5（5分）
    ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；（6分）
    当x=5时，y=
    2
    3
    ×52-
    10
    3
    ×5+4=4
    当x=2时，y=
    2
    3
    ×22-
    10
    3
    ×2+4=0
    ∴点C和点D在所求抛物线上；（7分）

    （3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，
    则
    5k+b′=4
    2k+b′=0
    ；
    解得：
    k=
    4
    3
    b′= -
    8
    3
    ；
    ∴y=
    4
    3
    x-
    8
    3
    （9分）
    ∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
    ∴N点的横坐标也为t；
    则yM=
    2
    3
    t2    -
    10
    3
    t+4，yN=
    4
    3
    t-
    8
    3
    ，（10分）
    ∴l=yN-yM=
    4
    3
    t-
    8
    3
    -（
    2
    3
    t2    -
    10
    3
    t+4）=-
    2
    3
    t2    +
    14
    3
    t-
    20
    3
    =-
    2
    3
    (t-
    7
    2
    )    2    +
    3
    2

    ∵-
    2
    3
    ＜0，
    ∴当t=
    7
    2
    时，l最大=
    3
    2
    ，yM=
    2
    3
    t2    -
    10
    3
    t+4=
    1
    2
    ．
    此时点M的坐标为（
    7
    2
    ，
    1
    2
    ）．（12分）
    点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y=
    k
    x
    与一次函数y=-x+（k+1）的图精英家教网象在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO=
    5
    2
    ．
    （1）求这个反比例函数和一次函数的解析式；
    （2）求这个一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=
    2
    3
    x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=
    5
    2
    上．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y=
    k
    x
    与一次函数y=-x-（k+1）的图象在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=
    3
    2
    ．
    （1）求这两个函数的解析式；
    （2）求两个函数图象的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积；
    （3）利用图象判断，当x为何值时，反比例函数的值小于一次函数的值？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=
    k
    x
    与直线y=-x+（k+1）在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△AOB=
    3
    2
    ，求这两个函数的解析式．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案