Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=

2

3

x²+bx+c经过B点，且顶点在直线x=

5

2

上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．

解答：解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y=

2

3

（x-

5

2

）²+m，
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4=

2

3

×（0-

5

2

）²+m，
∴m=-

1

6

，
∴所求函数关系式为：y=

2

3

（x-

5

2

）²-

1

6

=

2

3

x²-

10

3

x+4；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
当x=2时，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的性质以及勾股定理的应用，题目的综合性很强，但难度不大．