Question

10．已知直线l₁的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，直线l₂的解析式为y=$\frac{7}{6}$x+$\frac{3}{2}$，两直线相交于点A．l₁与x轴相交于点B，与y轴相交于点D，l₂与y轴相交于的C．
（1）求点A的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若在y轴上存在点E使△BDE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据两直线相交的问题，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{6}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$即可得到A点坐标；
（2）先求出B点、C点和D点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD进行计算即可；
（3）设E（0，t），利用两点间的距离公式得到BD²=（$\frac{1}{2}$）²+1²，BE²=t²+1²，ED²=（t+$\frac{1}{2}$）²，然后分类讨论：当∠BED=90°时，即BE²+ED²=BD²，则t²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{1}{2}$）²+1²；当∠EBD=90°时，即BE²+BD²=ED²，则t²+1²+（$\frac{1}{2}$）²+1²=（t+$\frac{1}{2}$）²；当∠BDE=90°时，即DE²+BD²=BE²，则（$\frac{1}{2}$）²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=t²+1²，再分别解关于t的方程即可得到满足条件的E点坐标．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{6}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
所以A点坐标为（-3，-2）；
（2）当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，则D（0，-$\frac{1}{2}$）；当x=0时，y=$\frac{7}{6}$x+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，则C（0，$\frac{3}{2}$），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，解得x=1，则B（1，0），
所以S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$）×3+$\frac{1}{2}$××（$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$）×1=4；
（3）设E（0，t），BD²=（$\frac{1}{2}$）²+1²，BE²=t²+1²，ED²=（t+$\frac{1}{2}$）²，
当∠BED=90°时，即BE²+ED²=BD²，所以t²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{1}{2}$）²+1²，解得t=0或t=-$\frac{1}{2}$（舍去），所以此时E点坐标为（0，0）；
当∠EBD=90°时，即BE²+BD²=ED²，所以t²+1²+（$\frac{1}{2}$）²+1²=（t+$\frac{1}{2}$）²，解得t=2，所以此时E点坐标为（0，2）；
当∠BDE=90°时，即DE²+BD²=BE²，所以（$\frac{1}{2}$）²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=t²+1²，解得t=-$\frac{1}{2}$（舍去），
综上所述，满足条件的E点坐标为（0，2）、（0，0）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了勾股定理．