Question

1．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且DE平分∠ADF．
（1）求证：AE+CF=DF；
（2）当FE平分∠BFD时，如图2，将线段FD绕点F逆时针旋转，旋转后的线段分别交AD、ED于点P、Q．若tan∠EFQ=$\frac{1}{3}$，EQ=$\frac{{\sqrt{205}}}{7}$，求△QEP的面积．

Answer 1

分析 （1）延长BC至点G，使CG=AE，连接DG，根据已知条件和则SAS证出△ADE≌△CDG，得出∠ADE=∠CDG，∠AED=∠G，再根据DE平分∠ADF，得出∠CDG=∠EDF，从而得出∠AED=∠CDE，再根据∠CDE=∠CDF+∠EDF，∠FDG=∠CDF+∠CDG，得出∠FDG=∠CDE=∠G，即可得出AE+CF=DF；
（2）延长DE、CE相交于点M，先证出FE垂直平分DM，得出EM=ED，再根据$\frac{EQ}{EF}$=$\frac{1}{3}$，求出EF的长，从而求出△EQF的面积，根据AAS证出△ADE≌△BME，得出AE=BE，求出tan∠ADE和tan∠EDF，从而得出ED的长，求出$\frac{PQ}{QF}$，
最后根据S_△PEQ：S_△FEQ=PQ：QG，即可求出△QEP的面积．

解答 解：（1）延长BC至点G，使CG=AE，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠DAE=∠DCG}\\{CG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠ADE=∠CDG，∠AED=∠G，
∵∠ADE=∠EDF，
∴∠CDG=∠EDF，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE，
∵∠CDE=∠CDF+∠EDF，∠FDG=∠CDF+∠CDG，
∴∠FDG=∠CDE=∠G，
∴DF=FG=CF+CG=CF+AE；

（2）延长DE、CE相交于点M，
∴∠M=∠ADE=∠FDE，
∴FM=FD，
∵FE平分∠BFD，
∴FE垂直平分DM，
∴EM=ED，
∵tan∠EFQ=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EQ}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF=3EQ=$\frac{3\sqrt{205}}{7}$，
∴S_△EFQ=$\frac{1}{2}$EQ•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{205}}{7}$×$\frac{3\sqrt{205}}{7}$=$\frac{615}{98}$，
在△ADE和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠MEB}\\{∠EAD=∠EBM}\\{ME=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BME（AAS），
∴AE=BE，
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠EDF=$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∴EM=ED=$\frac{6\sqrt{205}}{7}$，
∴DQ=$\frac{5\sqrt{205}}{7}$，MQ=$\frac{6\sqrt{205}}{7}$+$\frac{\sqrt{205}}{7}$=$\sqrt{205}$，
∴$\frac{DQ}{MQ}$=$\frac{\frac{5\sqrt{205}}{7}}{\sqrt{205}}$=$\frac{5}{7}$，
∴$\frac{PQ}{QF}$=$\frac{DQ}{MQ}$=$\frac{5}{7}$，
∴S_△PEQ：S_△FEQ=5：7，
∴S_△PEQ：$\frac{615}{98}$=5：7，
∴S_△PEQ=$\frac{3075}{686}$．

点评 此题考查了四边形的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、正方形的性质、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．