Question

9．如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．

Answer 1

分析 过点B作BE∥AC与AD的延长线交于一点E，由AD平分∠BAC，先证出BA=BE，△BDE∽△CAD，得到$\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{7}$，再由M是BC的中点，得到$\frac{CM}{CD}=\frac{11}{14}$，然后由FM∥AD得到$\frac{CF}{AC}=\frac{CM}{CD}=\frac{11}{14}$，从而得到CF=$\frac{11}{2}$．

解答 解：如图所示，过点B作BE∥AC与AD的延长线交于一点E，
∴∠E=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，
∴AB=BE，
又∵△BDE∽△CAD，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{7}$，
∵M是BC的中点，
∴$\frac{CM}{CD}=\frac{11}{14}$，
∵FM∥AD，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{CM}{CD}=\frac{11}{14}$，
∴$\frac{CF}{7}=\frac{11}{14}$，
∴CF=$\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质的综合运用，作出辅助线构造相似三角形，转移线段比是本题的关键．