Question

18．已知，如图，正方形ABCD中，E是AB的中点，∠CEF=∠ECD．F在CD的延长线上，EF交AD于点P，求证：AP=2PD．

Answer 1

分析 过E作EM∥AD交BC于M，设正方形的边长为2，在Rt△EMF中，根据勾股定理列方程求出FD，再根据△FPD∽△FEM得到AD=EM=3DP，于是AP=2PD．

解答 解：过E作EM∥AD交BC于M，
设正方形边长为2，
∴EM=CD=2，CM=DM=1，
∵∠CEF=∠ECD，
∴EF=CE，
设DF=x，则FM=x+1，EF=CF=x+2，
∵EF²=FM²+EM²，
∴（x+2）²=（x+1）²+2²，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∵DP∥EM，
∴△FPD∽△FEM，
∴$\frac{DP}{EM}=\frac{DF}{FM}=\frac{x}{x+1}=\frac{1}{3}$，
∴AD=EM=3DP，
∴AP=2DP．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理，设出正方形的边长为一个数或字母是解决问题的关键．