Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F．
（1）求证：AF⊥EF．
（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．

Answer 1

证明：（1）∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴=，
∴OD⊥BC，
∴BC∥EF，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
即AC⊥BC，
∴AF⊥EF；

（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
在△ABD和△ADH中，
，
∴△ABD≌△AHD（ASA），
∴AH=AB，
∵EF是切线，
∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，
∴∠EDF=∠HDF，
∵DF⊥AF，DF是公共边，
∴△CDF≌△HDF（ASA），
∴FH=CF，
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB．
即AF+CF=AB，
分析：（1）首先连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平分线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF．
（2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB．
点评：此题考查了切线的性质、弦切角定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．