Question

已知：如图，△ABC的AB边上一点D满足AB=3AD，点P在△ABC的外接圆上，∠ADP=∠C．
（1）求证：PA²=AD•AB；
（2）求

PB

PD

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等以及已知角相等，等量代换得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对角相等的三角形相似，得到三角形APB与三角形ADP相似，由相似得比例，变形后即可得证；
（2）将AB=3AD代入第一问得出的关系式中，得到PA=

3

AD，求出PA与AD之比，即为所求之比．

解答：（1）证明：∵∠APB=∠C，∠ADP=∠C，
∴∠APB=∠ADP，
∵∠BAP=∠DAP，
∴△APB∽△ADP，
∴

PA

DA

=

BA

PA

=

PB

DP

，
∴PA²=AD•AB；

（2）解：∵PA²=AD•AB，AB=3AD，
∴PA²=3AD²，即PA=

3

AD，
∴

PB

PD

=

PA

AD

=

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．