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【题目】已知:抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B,交y轴于点C(0,2)

(1)求抛物线的表达式;

(2)点P为第一象限抛物线上一点,是否存在使PBC面积最大的点P?若不存在,请说明理由;若存在,求出点P的坐标;

(3)点D坐标为(1,﹣1),连接AD,将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN(点M、N分别与点A、D对应),使点M、N都在抛物线上,求点M、N的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)当x=2时,S有最大值为4,此时P(2,3);(3)N(1,3),M(3,2).

【解析】

(1) 根据抛物线y=y=﹣x2+bx+c经过A (-1, 0)C(0,2)两点,列出bc的二元一次方程组,求出bc的值, 进而求出抛物线的表达式;

(2)过点PPQ//y,交直线BCQ,P(x,),Q(x,);求出PQ的长, 利用=PQ.OB列出S关于的二次函数, 利用函数的性质求出面积的最大值,进而求出点P的坐标;

(3)作辅助线,根据线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN可知: 旋转后的MNAD平行且相等,构建全等三角形:ΔADG≌ΔMNG,根据A、 D两点的坐标发现, N点向下平移1个单位再向右移动两个单位得M,N的坐标为:N(m,) , 根据平移规律表示M (m+2, ) , 代入抛物线的解析式即可

(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B,交y轴于点C(0,2),

解得

抛物线的解析式:y=﹣x2+x+2;

(2)∵令y=0,则=﹣x2+x+2=0,

解得x1=﹣1,x2=4

∴B(4,0),

直线BC:y=﹣x+2;

如图1,过点P作PQy轴,交直线BC于Q,

设P(x,﹣x2+x+2),则Q(x,﹣x+2);

∴PQ=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,

SPCB=PQOB=×(﹣x2+2x)×4=﹣(x﹣2)2+4;

当x=2时,S有最大值为4,此时P(2,3);

(3)如图2,过D作DGx轴于G,过N作NHy轴,过M作MHx轴,交于H,

由题意得:△ADG≌△MNG,

∵A(﹣1,0),D(1,﹣1),

∴AG=2,DG=1,

∴NH=DG=1,MH=AG=2,

设N(m,﹣m2+m+2),则M(m+2,﹣m2+m+2﹣1),

把M的坐标代入抛物线y=﹣x2+x+2中得:

(m+2)2+(m+2)+2=﹣m2+m+2﹣1,

解得:m=1,

当m=1时,﹣m2+m+2=3,

∴N(1,3),M(3,2).

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