【题目】已知:抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B,交y轴于点C(0,2)
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P为第一象限抛物线上一点,是否存在使△PBC面积最大的点P?若不存在,请说明理由;若存在,求出点P的坐标;
(3)点D坐标为(1,﹣1),连接AD,将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN(点M、N分别与点A、D对应),使点M、N都在抛物线上,求点M、N的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)当x=2时,S有最大值为4,此时P(2,3);(3)N(1,3),M(3,2).
【解析】
(1) 根据抛物线y=y=﹣x2+bx+c经过A (-1, 0)C(0,2)两点,列出b和c的二元一次方程组,求出b和c的值, 进而求出抛物线的表达式;
(2)过点P作PQ//y轴,交直线BC于Q,设P(x,),则Q(x,);求出PQ的长, 利用=PQ.OB列出S关于的二次函数, 利用函数的性质求出面积的最大值,进而求出点P的坐标;
(3)作辅助线,根据线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN可知: 旋转后的MN与AD平行且相等,构建全等三角形:ΔADG≌ΔMNG,根据A、 D两点的坐标发现, N点向下平移1个单位再向右移动两个单位得M,设N的坐标为:设N(m,) , 根据平移规律表示M (m+2, ) , 代入抛物线的解析式即可
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B,交y轴于点C(0,2),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式:y=﹣x2+x+2;
(2)∵令y=0,则=﹣x2+x+2=0,
解得x1=﹣1,x2=4
∴B(4,0),
∴直线BC:y=﹣x+2;
如图1,过点P作PQ∥y轴,交直线BC于Q,
设P(x,﹣x2+x+2),则Q(x,﹣x+2);
∴PQ=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,
S△PCB=PQOB=×(﹣x2+2x)×4=﹣(x﹣2)2+4;
当x=2时,S有最大值为4,此时P(2,3);
(3)如图2,过D作DG⊥x轴于G,过N作NH∥y轴,过M作MH∥x轴,交于H,
由题意得:△ADG≌△MNG,
∵A(﹣1,0),D(1,﹣1),
∴AG=2,DG=1,
∴NH=DG=1,MH=AG=2,
设N(m,﹣m2+m+2),则M(m+2,﹣m2+m+2﹣1),
把M的坐标代入抛物线y=﹣x2+x+2中得:
﹣(m+2)2+(m+2)+2=﹣m2+m+2﹣1,
解得:m=1,
当m=1时,﹣m2+m+2=3,
∴N(1,3),M(3,2).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,5),C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度)
(1)将△ABC平移,使点A移动到点A1,请画出△A1B1C1;
(2)作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2,并直接写出A2,B2,C2的坐标;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案,已知大正方形面积为10,小正方形面积为2,若用表示直角三角形的两直角边,下列四个说法:①;②;③;④.其中说法正确的有____________.(只填序号)
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【题目】如图,直线y1=x+m与x轴、y轴交于点A、B,与双曲线分别交于点C、D,且点C的坐标为(-1,2)
(1)分别求出直线AB及双曲线的解析式;
(2)求出点D的坐标.
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【题目】若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等,则称这个四边形为“奇妙四边形”.如图1,四边形ABCD中,若AC=BD,AC⊥BD,则称四边形ABCD为奇妙四边形.根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质:“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答:
(1)矩形 “奇妙四边形”(填“是”或“不是”);
(2)如图2,已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”,若⊙O的半径为6,∠BCD=60°.求“奇妙四边形”ABCD的面积;
(3)如图3,已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M.请猜测OM与AD的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连接DE,把△DCE沿DE折叠,使点C落在点C′处,当△BEC′为直角三角形时,BE的长为_____.
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【题目】操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,设A、P两点间的距离为x.
探究:
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应x的值;如果不可能,试说明理由.
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