Question

4．如图，边长为3的等边△ABC内一点O到三个顶点的距离都相等，则OA=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件得到点O是△ABC的三边垂直平分线的交点，推出点O是△ABC的外心，延长CO交AB点D，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{C{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，由重心定理即可得到结论．

解答 解：：∵点O到△ABC的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ABC的三边垂直平分线的交点，
∵三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心，
∴点O是△ABC的外心，
延长CO交AB点D，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，∴CD=$\sqrt{C{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
由重心定理得：OA=CO=$\frac{2}{3}$CD=$\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，三角形的外心的性质，重心定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．