Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，=n，M为BC上的一点，连接BM．

（1）如图1，若n=1，

①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；

②如图2，当H为CD的中点，∠AHD=45°，求的值和∠CAH的度数；

（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan∠BHQ的值（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②，15°；（2）tan∠BHQ=n．

【解析】

（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．利用全等三角形的性质证明AK=CH，再证明CH=KH，推出AK=KH即可解决问题．

②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH=CH=a．证明△ADH∽△CDA，推出AD=a，设AM=CM=BM=x，在Rt△CMD中，根据CM2=DM2+CD2，构建方程求出x（用a表示），求出BD即可，再证明sin∠ACK=，推出∠ACK=30°即可解决问题．

（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM=CM=y，则BC=2yn．想办法求出AJ，HJ（用n，y表示）即可解决问题．

（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．

∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB=90°，

∴∠CHB=∠K=90°，∠CBH+∠BCH=90°，∠BCH+∠ACK=90°，

∴∠CBH=∠ACK，

∵CB=CA，

∴△CHB≌△AKC（AAS），

∴AK=CH，

∵∠CHM=∠K=90°，

∴MH∥AK，

∵AM=BM，

∴CH=KH，

∴AK=KH，

∵∠K=90°，

∴∠AHD=45°．

②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH=CH=a．

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠CAB=45°，

∵∠AHD=45°，∠AHD=∠ACH+∠CAH，

∴∠ACH+∠CAH=∠CAH+∠DAH，

∴∠DAH=∠ACD，

∵∠ADH=∠CAD，

∴△ADH∽△CDA，

∴=，

∴=，

∴AD=a，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CM⊥AB，

∴AM=BM，

∴CM=AM=BM，设AM=CM=BM=x，

在Rt△CMD中，∵CM2=DM2+CD2，

∴x2+（x﹣a）2=4a2，

解得x=a（负根已经舍弃）．

∴BD=AB﹣AD=（+）a﹣a=a，

∴．

∵△ADH∽△CDA，

∴，设AH=m，则AC=m，AK=KH=m，

∴tan∠ACK=，

∴∠ACH=30°，

∴∠CAH=∠AHD﹣∠ACH=45°﹣30°=15°．

（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM=CM=y，则BC=2yn．

∵CH⊥BM，BM===y，

∴CH==，

∴HM==y，

∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，

∴∠J=∠CHM=90°，

∵∠AMJ=∠CMH，AM=CM，

∴△AMJ≌△CMH（AAS），

∴AJ=CH=y，HM=JM=y，

∵∠BHQ=∠AHJ，

∴tan∠BHQ=tan∠AHJ=.