Question

3．如图1，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，AH⊥BC，求证：△ABH≌△ACH；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得到AB=AC，从而用HL判定出△ABH≌△ACH．
（2）由菱形的性质得到AB=AC，结合∠ABC=60°得到AC=AD，再判断出△BAC≌△CAF，△AEB≌△EGC即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且AC=2，
∴AB=BC=2，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH=∠ACH=90°，
在Rt△ABH和Rt△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACH（HL），
（2）①△AEF是等边三角形，
理由：
∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠EAC+∠BAE=∠EAC+∠CAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△BAC≌△CAF，
∴AE=AF，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
②∵△AEF和△ABC是等边三角形，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠GEC=120°，
∴∠BAE=∠GEC，
∴△AEB≌△EGC，
∴$\frac{BE}{CG}=\frac{AB}{EC}$，
又∵EC=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{4}$AB，
∴CG=$\frac{1}{4}$BE=$\frac{3}{16}$BC=$\frac{3}{8}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定，还用到三角形的全等，判断三角形全等是解本题的关键．