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如图,已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于C点,⊙M是△ABC的外接圆.
(1)求阴影部分扇形AMC的面积;
(2)在x轴的正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=K.
①设△OPQ的面积为S,求S关于K的函数关系式,并求出S的最大值;
②△CMQ能否与△AOC相似?若能,求出K的值;若不能,说明理由.

解:(1)令y=x2-2x-3=0,
∴x1=3,x2=-1,
∴A点(-1,0),B点(3,0),
∴OB=3,OA=1,
令x=0,则y=-3,
∴C点(0,-3),
∴OC=3,
∴OB=OC,
∵∠BOC=90°,
∴∠OBC=45°,
∴∠M=90°,
在Rt△AOC中,AC=
在Rt△AMC中,AM2+MC2=AC2,AM=BM,
∴AM=
∴S扇形AMC=
答:阴影部分扇形AMC的面积是

(2)①∵PQ⊥AB,∠PBQ=45°,
∴∠PBQ=∠PQB=45°,
∴PB=PQ=K,
∴OP=OB-BP=3-k,
∴s=•OP•PQ=k(3-k)=-k2+k=
∴s的最大值是
答:设△OPQ的面积为S,S关于k的函数关系式是s=-k2+k,S的最大值是

②当A、M、Q点在同一直线上时,
∠ACO=∠QCM,∠AOC=∠QMC=90°,
则△CMQ∽△AOC,
在Rt△BPQ中,根据勾股定理得BQ=
在Rt△OBC中,根据勾股定理得:BC=
∴CQ=



答:△CMQ能与△AOC相似,此时k的值是
分析:(1)令y=0求出A点、B点的坐标,当x=0,求出C点的坐标,求出∠OBC=45°,求出∠M=90°,根据勾股定理求出AC=和AM=,根据扇形的面积公式求出即可;
(2)①由PQ⊥AB,∠PBQ=45°得出∠PBQ=∠PQB=45°,求出OP=OB-BP=3-k,根据三角形的面积公式s=•OP•PQ即可求出答案;②当A、M、Q点在同一直线上时,由∠ACO=∠QCM,∠AOC=∠QMC=90°,得到△CMQ∽△AOC,根据勾股定理求出BQ=,BC=,推出CQ=,代入,即可求出k的值.
点评:本题主要考查对三角形的面积,勾股定理,三角形的外接圆与外心,圆周角定理,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,解一元一次方程,扇形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值,三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,题型较好,综合性强.
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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(
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),B点在y轴上,直线与x轴的交点为F,P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点.
(1)求k,m的值及这个二次函数的解析式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、E、D为顶点的精英家教网三角形与△BOF相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)求此二次函数的解析式,并写出它的对称轴;
(2)若直线l:y=kx(k>0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若直线l′:y=m与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
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(1)求b的值及这个二次函数的关系式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点,则四边形DCEP能否构成平行四边形?如果能,请求出此时P点的坐标;如果不能,请说明理由.
(4)以PE为直径的圆能否与y轴相切?如果能,请求出点P的坐标;如果不能,请说明理由.

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x2+bx+c
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