Question

9．如图，将一块直角三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．

（1）如图①，点D在△ABC内．
（i）若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=140度，∠DBC+∠DCB=90度，∠ABD+∠ACD=50度；
（ii）请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；
（2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．

Answer 1

分析 （1）（i）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（ii）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
（2）由（ii）的解题思路可得：∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

解答 解：（1）（i）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；
故答案为：140；90；50．                             
（ii）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．             
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．                
∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A．                         
（2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ACD-∠ABD=90°-∠A．
证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．             
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．                
∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．
∴∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．