Question

【题目】如图，过边长为8的等边的边AB上一点P，作于，为 延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为________．

Answer 1

【答案】

【解析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．

解：如图，过P作PF∥BC交AC于F，

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中
∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠CDQ，PF=CQ，

∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD，
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=8，∴DE=4，
故答案为：4．

“点睛”本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．