Question

【题目】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．

（1）直接写出k的值及点E的坐标；

（2）若点F是OC边上一点，且FB⊥DE，求直线FB的解析式．

Answer 1

【答案】（1）k=3，（2，）（2）y=

【解析】

分析: （1）先根据点B的坐标为（2,3）求出D点坐标,代入反比例函数解析式即可求出k的值，进而得出解析式，再把x=2代入求出y的值即可得出E点坐标,
（2）根据FB⊥DE,利用同角的余角相等得到一组等角,再根据两直角相等进而得出△FBC∽△DEB,根据相似三角形的性质进而求出F点的坐标,利用待定系数法求出直线FB的解析式即可.

详解:（1）∵点B的坐标为（2,3）,点D是BC的中点,

∴D（1,3）,

∵点D在反比例函数（x＞0）上,

∴3=,解得k=3,
∴反比例函数的解析式为:．
∵四边形OABC是矩形,点B的坐标为（2,3）,
∴当x=2时,y=,
∴E点坐标为（2,）

(2)因为FB⊥DE,

∴∠CBF+∠EDB=90°,∠BED+∠EDB=90°,

∴∠CBF=∠BDE,

因为∠C=∠DBE=90°,

∴△FBC∽△DEB,

∵点E的坐标为（2,）,B的坐标为（2,3）,点D的坐标为（1,3）,

∴BD=1,BE=,BC=2,
∵△FBC∽△DEB,
∴,

即:,

∴FC=,
∴点F的坐标为（0,）,
设直线FB的解析式y=kx+b,
则2k+b=3,b=,
解得:k=,
∴直线FB的解析式y=.

点睛:本题主考查反比例函数与几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征,要求学生利用相似三角形的性质进行综合分析.