Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x²+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2$\sqrt{2}$的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P₁、Q₁，求四边形PQQ₁P₁面积的最大值；
（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S_△AOF=S_△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（3，3）代入y=x²+bx中，即可解决问题．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ₁于点E，如图1所示．设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P₁（m，m²-2m），Q₁（m+2，m²+2m），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题．
（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标，再根据对称性E关于点A的对称点E′也符合条件，求出E、E′坐标即可．

解答 解：（1）把点A（3，3）代入y=x²+bx中，
得：3=9+3b，解得：b=-2，
∴二次函数的表达式为y=x²-2x．

（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ₁于点E，如图1所示．

∵PE⊥QQ₁，QQ₁⊥x轴，
∴PE∥x轴，
∵直线OA的解析式为y=x，
∴∠QPE=45°，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ=2．
设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P₁（m，m²-2m），Q₁（m+2，m²+2m），
∴PP₁=3m-m²，QQ₁=2-m²-m，
∴${S}_{梯形PQ{Q}_{1}{P}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（PP₁+QQ₁）•PE=-2m²+2m+2=-2$（m-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{5}{2}$，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，${S}_{梯形PQ{Q}_{1}{P}_{1}}$取最大值，最大值为$\frac{5}{2}$．

（3）存在．
如图2中，①点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OF．

∵S_△AOF=S_△AOM，
∴MF∥OA，
∵EG=GF，$\frac{EG}{FG}$=$\frac{AG}{GM}$，
∴AG=GM，
∵M（1，-1），A（3，3），
∴点G（2，1），
∵直线AM解析式为y=2x-3，
∴线段AM的中垂线EF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
②设E关于点A的对称点E′，E′关于AM的对称点F′，根据对称性可知，△OAF′与△AOF的面积相等，
此时E′（$\frac{14}{3}$，$\frac{14}{3}$），
综上所述满足条件的点E坐标（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）或（$\frac{14}{3}$，$\frac{14}{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问题等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数性质解决最值问题，学会利用方程组求两个函数的交点，属于中考压轴题．