Question

6．直角三角形ABC，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，其中点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE=a，EB=b，则三角形ADE与三角形EFB的面积之和是$\frac{ab}{2}$．

Answer 1

分析 设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，则利用勾股定理表示出BF=$\sqrt{{b}^{2}-{x}^{2}}$，再证明Rt△BEF∽Rt△EAD，利用相似比求出x的值，则开始计算出S_△BEF，然后利用相似三角形的性质计算出S_△AED，从而得到△ADE与△BEF的面积和．

解答 解：设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，
所以BF=$\sqrt{{b}^{2}-{x}^{2}}$，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠A，
∴Rt△BEF∽Rt△EAD，
∴BF：DE=BE：AE，即$\sqrt{{b}^{2}-{x}^{2}}$：x=b：a，
解得：x=$\frac{ab\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴BF=$\frac{{b}^{2}\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{{b}^{2}\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$×$\frac{ab\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{a{b}^{3}}{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
∵$\frac{△BEF的面积}{△AED的面积}$=（$\frac{b}{a}$）²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴S_△AED=$\frac{{a}^{3}b}{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
∴△ADE与△BEF的面积和=$\frac{ab}{2}$．
故答案为：$\frac{ab}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质．