Question

【题目】AB是⊙O的直径，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2 ，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DO，

∵AO=DO，

∴∠DAO=∠ADO=22.5°．

∴∠DOC=45°．

又∵∠ACD=2∠DAB，

∴∠ACD=∠DOC=45°．

∴∠ODC=90°．

又 OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：连接DB，

∵直径AB=2 ，△OCD为等腰直角三角形，

∴CD=OD= ，OC= =2，

∴BC=OC﹣OB=2﹣ ．

【解析】（1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．（2）由1知，CD=OD= AB，由弦切角定理可得∠CDB=∠A，故有△ADC∽△DBC，得到CD2=CBCA=CB（CB+AB）而求得BC的值．
【考点精析】利用圆周角定理和切线的判定定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．