Question

7．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过A（2，4），B（m，n）（m＞2）两点，作AC∥y轴交x轴于C，BD∥x轴交y轴于D，AC与BD相交于E，连接AB、AD、CD．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若△ABD的面积等于4，求点B的坐标；
（3）求证：AB∥CD．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）根据三角形面积公式得出$\frac{1}{2}$m（4-n）=2，求出4m-mn=8，把B的坐标代入反比例函数y=$\frac{8}{x}$，即可求出mn=8，求出m、n，即可得出答案；
（3）解直角三角形求出∠ABE=∠CDE，根据平行线的判定得出即可．

解答 解：（1）∵把A（2，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=8，
∴反比例函数解析式是y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵AC∥y轴，BD∥x轴，
∴四边形OCED为平行四边形，
∴∠CDE=∠COD=90°，
∴∠AEB=90°，
∴$\frac{1}{2}$BD×AE=4，
∴$\frac{1}{2}$m（4-n）=2，
∴4m-mn=8，
∵B（m，n）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴n=$\frac{8}{m}$，
∴mn=8，
∴4m-8=8，
解得：m=4，
∴n=2，
即点B坐标是（4，2）；

（3）∵tanB=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4-n}{m-2}$=$\frac{4-\frac{8}{m}}{m-2}$=$\frac{4}{m}$，
tan∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{n}{2}$=$\frac{\frac{8}{m}}{2}$=$\frac{4}{m}$，
∴tanB=tan∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴AB∥CD．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解直角三角形，平行线的判定等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．