Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；

（3）在（2）的条件下，求HG的长．

Answer 1

【答案】（1）BD与⊙O相切，见解析；（2）π；（3）

【解析】

（1）连接OB，证得∠DBO＝90°，即可得到BD与⊙O相切；

（2）由等腰直角三角形的性质得到CF＝BF，由于DF垂直平分AC，得到AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，根据勾股定理得到EF的长，根据圆的面积公式即可得到结论；

（3）根据等腰直角三角形和角平分线的定义即可得到结论．

解：（1）BD与⊙O相切，

理由：如图1，连接OB，

∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠OFB，

∵∠ABC＝90°，AD＝CD，

∴BD＝CD，∠EBF＝90°，

∴∠C＝∠DBC，EF为直径，

∴点O在EF上，

∵∠C＝∠BFE，

∴∠DBC＝∠OBF，

∵∠CBO+∠OBF＝90°，

∴∠DBC+∠CBO＝90°，

∴∠DBO＝90°，

∴BD与⊙O相切；

（2）如图2，连接CF，HE，

∵∠CDE＝90°，∠ABC＝90°，

∴∠DEC＝∠A，

∵∠CED＝∠FEB，

∴∠FEB＝∠A．

∵AB＝BE，∠ABC＝∠CBF＝90°，

∴△ABC≌△EBF（ASA），

∵BC＝BF，

∴CF＝BF，

∵DF垂直平分AC，

∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，

∴BF＝+1，

∴EF＝

∵∠CBF＝90°，

∴EF是⊙O的直径，

∴⊙O的面积＝（EF）2π＝π＝π；

（3）如图3，连接AE

∵AB＝BE，∠ABEspan>＝90°，

∴∠AEB＝45°，

∵EA＝EC，

∴∠C＝22.5°，

∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∵BH平分∠CBF，

∴∠EBG＝∠HBF＝45°，

∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°，

∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1+，

∴HG＝BH﹣BG＝．