Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值．

（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形．

（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）当t=2或t=5+或t=5﹣时，△PQB为直角三角形．（3）存在这样的t值，t1=，t2=2．

【解析】

（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值；
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2=（12﹣4t）2+42，PQ2=（4t﹣2t）2+（2t）2=8t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；
（3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，

∴∠AOC=∠OAB=90°，

∵OD平分∠AOC，

∴∠AOD=∠DOQ=45°，

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，

∴AO=AD=4，

∴

（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．

如图1，

作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，

∴∠OPG=45°，

∵

∴OG=PG=2t，

∴点P（2t，2t）

又∵Q（4t，0），B（12，4），

根据两点间的距离公式可得：PB2=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2=（12﹣4t）2+42，PQ2=（4t﹣2t）2+（2t）2=8t2，

①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，

即：8t2+[（12﹣4t）2+42]=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，

整理得：t2﹣2t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=2，

∴t=2，

②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，

∴[（12﹣2t）2+（4﹣2t）2]+[（12﹣4t）2+42]=8t2，

整理得：t2﹣10t+20=0，

解得：

∴当t=2或或时，△PQB为直角三角形．

（3）存在这样的t值，理由如下：

将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，

则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．

∵PO=PQ，由P（2t，2t），Q（4t，0），知旋转中心坐标可表示为（3t，t），

∵点B坐标为（12，4），

∴点B′的坐标为（6t﹣12，2t﹣4），

代入 得：2t2﹣13t+18=0，

解得：