【题目】如图, 是⊙O的直径,点是的中点,连接并延长至点,使,点是上一点,且, 的延长线交的延长线于点, 交⊙O于点,连接.
(1)求证: 是⊙O的切线;
(2)当时,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)BH =.
【解析】试题分析:(1)连接OC,由题意可得∠AOC=90°,OC//BD,从而得OB与BD垂直,问题得证;
(2)先证明△OCE∽△BFE,根据相似三角形对应边成比例以及,求得BF=3,在Rt中,利用勾股定理求得,再利用 即可得.
试题解析:(1)连接OC,
∵AB为⊙O的直径,点是的中点,∴∠AOC=90°,
∵,∴OC是的中位线,∴OC∥BD,
∴∠ABD=∠AOC=90°,
∴,
∴是⊙O的切线;
(2)由(1)知OC∥BD,∴△OCE∽△BFE,∴ ,
∵OB = 2,∴OC= OB = 2,AB = 4,∵ ,∴,∴BF=3,
在Rt中,∠ABF=90°,,
∵ ,
∴.即,
∴BH =.
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【题目】如图,直角坐标系中的网格由单位正方形构成,△ABC中,A点坐标为(2,3),B点坐标为(﹣2,0),C点坐标为(0,﹣1).
(1)S△ABC= ;
(2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形,试在图中画出所有D点的位置并求出这些平行四边形中最长的对角线长为 ,最短的对角线长为 .
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【题目】如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB于M,DN⊥AC的延长线于N.
(1)求证:BM=CN;
(2)若AB=8,AC=4,求BM的长.
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【题目】随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?
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【题目】已知二次函数y = x2 - 4x + 3.
(1)用配方法将y = x2 - 4x + 3化成y = a(x - h)2 + k的形式;
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象;
(3)当0≤x≤3时,y的取值范围是 .
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【题目】求不等式(2x﹣1)(x+3)>0的解集.
解:根据“同号两数相乘,积为正”可得:①或 ②.
解①得x>;解②得x<﹣3.
∴不等式的解集为x>或x<﹣3.
请你仿照上述方法解决下列问题:
(1)求不等式(2x﹣3)(x+1)<0的解集.
(2)求不等式≥0的解集.
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【题目】小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为______元.
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作已知角的角平分线.
已知:如图,已知.
求作: 的角平分线.
小霞的作法如下:
(1)如图,在平面内任取一点;
(2)以点为圆心, 为半径作圆,交射线于点,交射线于点;
(3)连接,过点作射线垂直线段,交⊙于点;
(4)连接.
所以射线为所求.
老师说:“小霞的作法正确.”
请回答:小霞的作图依据是___________________________________________.
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【题目】如图,在菱形,,.动点、分别从点、同时出发,以的速度向点、运动,连接、,取、的中点、,连接、.设运动的时间为.
(1)求证:;
(2)当为何值时,四边形为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻,使四边形为矩形,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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