Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：由AD为角平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，利用角平分线定理得到DE=DF，根据AB=AC，利用三线合一得到D为BC的中点，AD垂直于BC，利用HL得到三角形ADE与三角形ADF全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=AF，进而再利用HL得到三角形BDE与三角形CDF全等，利用SAS得到三角形ADB与三角形ADC全等，即可得到结果．

解答：解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，D为BC中点，AD⊥BC，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

DE=DF AD=AD

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，
∴DA平分∠EDF，
取AD上任意点P，作PM⊥AB，PN⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴PM=PN；
在Rt△EBD和Rt△FCD中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）；
在△ADB和△ADC中，

AD=AD ∠ADB=∠ADC=90° DB=DC

，
∴△ADB≌△ADC（SAS），即图形中全等三角形有3对，
则其中正确的个数有4个．
故选A．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．