Question

△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点p₁，p₂，…p₁₀₀；记m_i=AP_i²+BP_i×P_iC（i=1，2，…100）求：m₁+m₂+…+m₁₀₀的值．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：规律型

分析：作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，从而求得M_i=AD²+BD²，即可求解．

解答：解：作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．

根据勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又∵P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀+M₁₀₀=4×100=400．

点评：本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据勾股定理化简AP_i²=AD²+DP_i²是解题的关键．