Question

如图，抛物线y=ax²-2ax+c的图象与x轴交于A、B（3，0），与y轴交于C（0，-）
（1）求二次函数解析式；
（2）P为第二象限抛物线上一点，且∠PBA=∠OCB，点E在线段CB上，过E作x轴的垂线交PB于F，当△AEF面积最大时，求点E坐标；
（3）设直线l：y=kx+b交y轴于M，交抛物线于N，若A、M、N、B为顶点的四边形为平行四边形，求直线l解析式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c的图象经过B（3，0），C（0，-），
∴，
解得，
所以，抛物线解析式为y=x²-x-；

（2）如图，设直线PB与y轴相交于点D，
∵B（3，0），C（0，-），
∴OC=，OB=3，
∵∠PBA=∠OCB，∠BOC=∠BOD=90°，
∴△BOC∽△DOB，
∴=，
即=，
解得OD=6，
∴点D的坐标为（0，6），
设直线PB的解析式为y=ex+f，直线BC的解析式为y=mx+n，
则，，
解得，，
所以，直线PB的解析式为y=-2x+6，直线BC的解析式为y=x-，
令y=0，则x²-x-=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
所以，点A的坐标为（-1，0），
设点E的横坐标为x，则点E（x，x-），F（x，-2x+6），
EF=-2x+6-x+=-x+，
点A到EF的距离为x-（-1）=x+1，
S_△AEF=×（-x+）×（x+1），
=-（x-3）（x+1），
=-（x²-2x-3），
=-（x-1）²+5，
所以，当x=1时，△AEF面积最大，
此时×1-=-1，
所以，点E的坐标为（1，-1）；

（3）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
①AB是平行四边形的边时，直线l与x轴平行，
此时k=0，MN=AB=4，
所以，点N的横坐标为4或-4，
当点N的横坐标为4时，y=×4²-4-=，
此时，直线l的解析式为y=，
当点N的横坐标为-4时，y=×（-4）²-（-4）-=，
此时，直线l的解析式为y=，
②AB是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴平行四边形的中心坐标为（1，0），
∵点M在y轴上，
∴点N的横坐标为2，
此时，y=×2²-2-=-，
∴点N的坐标为（2，-），
∴，
解得，
所以，直线l的解析式为y=-x+，
综上所述，直线l的解析式为：y=或y=或y=-x+．
分析：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）设PB与y轴相交于点D，根据点B、C的坐标求出OC、OB的长度，然后利用相似三角形对应边成比例求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再利用待定系数法求直线解析式求出直线PB的解析式与直线BC的解析式，设点E的横坐标为x，根据两直线的解析式表示出E、F的坐标，再根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后表示出EF的长度与点A到EF的距离，然后根据三角形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答得到x的值，便不难求出点E的坐标；
（3）先根据AB的坐标求出AB的长度，再分①AB是平行四边形的边时，直线l与x轴平行，根据平行四边形对边相等求出MN的长度，然后分点N在第一象限与第二象限得到点N的横坐标，再代入抛物线解析式计算求出纵坐标，从而得解；②AB是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求出平行四边形的中心坐标是（1，0），然后求出点N的横坐标是2，代入抛物线解析式求出点N的纵坐标，再利用待定系数法求直线解析式计算即可得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，相似三角形对应边成比例，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分的性质，（3）要注意AB为平行四边形的边时，直线l与x轴平行的情况的讨论．