Question

已知二次函数y=a（x-2）²-a（x-2）（a为常数，且a≠0．）
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积等于2时，求a的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：

分析：（1）把（x-2）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答：（1）证明：令y=0，a（x-2）²-a（x-2）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）解：y=0，则a（x-2）²-a（x-2）=a（x-2）（x-2-1）=0，
解得：x₁=2，x₂=3，
∴AB=1，
y=a（x-2）²-a（x-2）=a（x-2-

1

2

）²-

a

4

，
△ABC的面积=

1

2

×1×|

a

4

|=2，
解得：a=±16．

点评：此题主要考查了二次函数与图象交点求法以及根的判别式、三角形的面积求法，把（x-2）看作一个整体求解更加简便．