Question

20．如图，已知：AD∥BC，点E在DC上，且AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC．求证：点E为CD中点．

Answer 1

分析 延长AE交BC于F，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BAD=180∠D=∠ECF，由角平分线的定义得到∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE=∠FBE，求得∠AEB=90°，推出△ABE≌△FBE，根据全等三角形的性质得到AE=EF，证得△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：延长AE交BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180，∠D=∠ECF，
∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE=∠FBE，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AF，
∴∠AEB+∠FEB=90°，
在△ABE与△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE，
∴AE=EF，
在△ADE与△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}\\{∠AED=∠FEC}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴DE=CE，
即点E为CD中点．

点评 本题考查了全等三角形判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．