Question

12．在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C，A、B两点的横坐标x_A、x_B是关于x的方程x²+3x-4=0的两个根．
（1）求点C的坐标；
（2）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，求直线l对应的一次函数关系式；
（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA、CB（点C除外）于点M、N，则$\frac{1}{CM}$+$\frac{1}{CN}$的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由x_A、x_B是关于x的方程x²+3x-4=0，OA＞OB，解方程得到x_A=4，x_B=1，求得OA=4，OB=1，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，由射影定理得到OC²=OA•OB=4，于是得到结论；
（2）如图，过点D作DE⊥AC，过点D作DF⊥BC，根据角平分线的性质得到DE=DF，DE∥BC，求得∠ECD=∠EDC=45°，根据射影定理得到AC²=AD•AB，求得AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，由DE∥BC得到$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，等量代换得到$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{DE}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{BC}$，求得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=2，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=$\frac{5}{3}$，则OD=$\frac{2}{3}$，即D（-$\frac{2}{3}$，0），设直线l对应的一次函数解析式为：y=kx+b，代入点的坐标即可得到结论．
（3）由（2）知因为CD为∠ACB的平分线，所以DE=DF．由△MDE∽△MNC，得到$\frac{DE}{CN}$=$\frac{MD}{MN}$，由△DNF∽△MNC，得到$\frac{DF}{MC}$=$\frac{DN}{MN}$，于是得到$\frac{DE}{CN}$+$\frac{DF}{MC}$=$\frac{MD}{MN}$+$\frac{DN}{MN}$=1，则DE（$\frac{1}{CN}$+$\frac{1}{CM}$）=1，于是得到结论．

解答 解：（1）∵x_A、x_B是关于x的方程x²+3x-4=0，OA＞OB，
∴x_A=4，x_B=1，
∴OA=4，OB=1，
∵以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）；

（2）如图，过点D作DE⊥AC，过点D作DF⊥BC，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴DE=DF，DE∥BC，
∴∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，AC²=AD•AB，
∴AC=2$\sqrt{5}$，BC²=BD•AB，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，
∵DE=EC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{DE}$，
∵△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=2，
∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，
解得DB=x=$\frac{5}{3}$，
则OD=$\frac{2}{3}$，即D（-$\frac{2}{3}$，0），
设直线l对应的一次函数解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{2}{3}k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2；

（3）由（2）知：CD为∠ACB的平分线，DE=DF．
∵DE∥BC，
∴△MDE∽△MNC，
∴$\frac{DE}{CN}$=$\frac{MD}{MN}$，
∵DF∥AC，
∴△DNF∽△MNC，
∴$\frac{DF}{MC}$=$\frac{DN}{MN}$，
∴$\frac{DE}{CN}$+$\frac{DF}{MC}$=$\frac{MD}{MN}$+$\frac{DN}{MN}$=1，
∴DE（$\frac{1}{CN}$+$\frac{1}{CM}$）=1
∴$\frac{1}{CN}$+$\frac{1}{CM}$=$\frac{1}{DE}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{5}$．

点评 主要考查了函数和几何图形的综合运用，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，解题的关键是会灵活地运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．