Question

5．已知：四边形ABCD，∠B=50°，∠C=60°，满足AD+DC=BC，AB²+DC²=4AD²，求：∠A．

Answer 1

分析 在BC上取一点E，使CE=CD，得到△CDE是等边三角形，于是得到DE=DC，过E作EF⊥DE，使EF=AB，连接AF，由AB²+DC²=4AD²，得到DF=2AD，求得AF=AD推出△AFE≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠EFA=∠B=50°，由于∠FEB=180°-60°-90°=30°，即可得到结论．

解答 解：在BC上取一点E，使CE=CD，∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=DC，过E作EF⊥DE，使EF=AB，连接AF，
∵AB²+DC²=4AD²，
∴DF=2AD，
∴A是DF的中点，
∴AF=AD，
∴D，A，F三点共线，
∵AF=AD=BC-EC=BE，
在△AFE与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AF=BE}\\{EF=AB}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△ABE，
∴∠EFA=∠B=50°，
∵∠FEB=180°-60°-90°=30°，
∴∠FAB=30°，
∴∠A=180°-30°=150°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，平角的定义，正确作出辅助线是解题的关键．