Question

n个正整数a₁，a₂，…，a_n满足如下条件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

Answer 1

分析：设a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数b_i，从而可推出n-1能整除（a_j-a_i），然后根据a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，可得出n的范围，从而结合题意可得出n的值．

解答：解：设a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数b_i，i=1，2，n．即bi=

(a1+a2++an)-ai

n-1

．
于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=

aj-ai

n-1

，
从而n-1|（a_j-a_i），
由于b1-bn=

an-a1

n-1

=

2008

n-1

是正整数，
故n-1|2³×251，
由于a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，
所以，（n-1）²≤2008，于是n≤45，
结合n-1|2³×251，所以，n≤9；
另一方面，令a₁=8×0+1，a₂=8×1+1，a₃=8×2+1，a₈=8×7+1，a₉=8×251+1，
则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9．

点评：本题考查数的整除性问题，难度较大，在解答时要抓住a₁，a₂，…，a_n中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数这个条件进行解答．