Question

如图，已知点A（0，4），B（2，0）．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x-m）²+n与线段OA交于点C．
①求线段AC的长；（用含m的式子表示）
②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．

Answer 1

解：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b．
∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（2，0），
∴，解得：，
即直线AB的函数解析式为y=-2x+4；

（2）①∵以M为顶点的抛物线为y=（x-m）²+n，
∴抛物线顶点M的坐标为（m，n）．
∵点M在线段AB上，∴n=-2m+4，
∴y=（x-m）²-2m+4．
把x=0代入y=（x-m）²-2m+4，
得y=m²-2m+4，即C点坐标为（0，m²-2m+4），
∴AC=OA-OC=4-（m²-2m+4）=-m²+2m；

②存在某一时刻，能够使得△ACM与△AMO相似．理由如下：
过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，-2m+4），
∴AD=OA-OD=4-（-2m+4）=2m．
∵M不与点A、B重合，∴0＜m＜2，
又∵MD=m，∴AM==m．
∵在△ACM与△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，
∴当△ACM与△AMO相似时，假设△ACM∽△AMO，
∴，即，
整理，得 9m²-8m=0，解得m=或m=0（舍去），
∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，且此时m=．
分析：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式；
（2）①先由抛物线的顶点式为y=（x-m）²+n得出顶点M的坐标为（m，n），由点M是线段AB上一动点，得出n=-2m+4，则y=（x-m）²-2m+4，再求出抛物线y=（x-m）²+n与y轴交点C的坐标，然后根据AC=OA-OC即可求解；
②过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，-2m+4），AD=OA-OD=2m，由勾股定理求出AM=m．在△ACM与△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以当△ACM与△AMO相似时，只能是△ACM∽△AMO，根据相似三角形对应边成比例得出，即，解方程求出m的值即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．利用数形结合及方程思想是解题的关键．