Question

9．如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，点E为边BC上的一点，连接DE，点F为ED上的一点，连接AF、BF，且AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF．
（1）求证：∠BFE=∠CDE；
（2）若DE=9，CD=2$\sqrt{13}$，tan∠CDE=$\frac{2}{3}$，求边BC的长．

Answer 1

分析 （1）与△BAF≌△CAD，推出∠BFA=∠CDA=90°，由AF=AD，推出∠AFD=∠ADF，由∠CDE+∠ADF=90°，∠BFE+∠AFD=90°，即可证明∠BFE=∠CDE．
（2）作CN⊥DE于N，BM⊥DE于M．首先证明△BFM≌△CDF，推出BM=CN，再证明△CNE≌△BME，推出BE=CE，在RtCDN中，CD=2$\sqrt{13}$，tan∠CDN=$\frac{2}{3}$，
求得CN=4，DN=6，DE=9，根据EC=$\sqrt{C{N}^{2}+E{N}^{2}}$，求出EC即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAF=∠CAD，
在△BAF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAF=∠CAD}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAD，
∴∠BFA=∠CDA=90°，
∵AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠CDE+∠ADF=90°，∠BFE+∠AFD=90°，
∴∠BFE=∠CDE．

（2）解：作CN⊥DE于N，BM⊥DE于M．
∵△BAF≌△CAD，
∴BF=CD，
∵∠BFM=∠CDN，∠M=∠CND=90°，
∴△BFM≌△CDN，
∴BM=CN，
∵BM∥CN，
∴∠NCE=∠MBE，∵∠CEN=∠MEB，
∴△CNE≌△BME，
∴BE=CE，
在RtCDN中，CD=2$\sqrt{13}$，tan∠CDN=$\frac{2}{3}$，
∴CN=4，DN=6，
∵DE=9，
∴EN=3，
∴EC=$\sqrt{C{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BC=2EC=10．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理．锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．