Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连接AO并延长交BC于点D
（1）求证：BD=CD；
（2）如图，点P为弧AB上一点，连接BP、CP，作AH⊥PC于点H，求证：CH=BP+PH．
（3）如图，在（2）的条件下，连接PO，若∠AOP=90°+∠BAD，作PT⊥AB于点T，若PB=3，AB=4$\sqrt{13}$，求AT的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理的推论即即可证明；
（2）如图2中，在CH上取一点E使得HP=HE，连接AP、AE，设PC与AD交于点G．只要证明△PAB≌△EAC，推出PB=EC即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥CB交CB的延长线于M，OP的延长线交AC于K．设PH=a，CH=b．首先证明PA=PC=a+b，利用勾股定理列出方程组求出a、b，由△PAH∽△BAD，可得$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PH}{BD}$，TC BD=$\frac{20\sqrt{13}}{13}$，BC=$\frac{40\sqrt{13}}{13}$由△PAT≌△PCM，可得AT=CM．BM=TB，TC AB+BC=AT+TB+CM-BM=2AT，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，即AD⊥BC，
∴BD=CD．

（2）证明：如图2中，在CH上取一点E使得HP=HE，连接AP、AE，设PC与AD交于点G．

∵AH⊥PE，PH=HE，
∴AP=AE，
∴∠PAH=∠EAH，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠PAH+∠APH=90°，∠ABD+∠BAD=90°，∠APH=∠ABD，
∴∠PAH=∠BAD，
∴∠EAH=∠CAD，
∴∠HAG=∠CAE，
∵∠AHG=∠CDG=90°，∠AGH=∠CGD，
∴∠HAG=∠DCG=∠PAB，
∴∠PAB=∠CAE，∵AP=AE，AB=AC，
∴△PAB≌△EAC，
∴PB=EC，
∴CH=CE+EH=PB+PH．

（3）解：如图3中，作PM⊥CB交CB的延长线于M，OP的延长线交AC于K．设PH=a，CH=b．

∵PB=3，
∴b=a+3    ①，
∵∠AOP=90°+∠BAD，∠NBD=∠ADB+∠BAD=90°+∠BAD，
∴∠AOP=∠NBD，
∴∠POD=∠ABD=∠ACB，
∵∠POD+∠DOK=180°，
∴∠DOK+∠DCK=180°，
∴∠ODC+∠OKC=180°，∵∠ODC=90°，
∴∠OKC=90°，即PO⊥AC，
∴KA=KC，PA=PC=a+b，
∵AH⊥PC，
∴AH²=PA²-PH²=AC²-HC²，
∴（a+b）²-a²=（4$\sqrt{13}$）²-b²     ②，
由①②可得a=5，b=8，
由△PAH∽△BAD，可得$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PH}{BD}$，
∴BD=$\frac{20\sqrt{13}}{13}$，BC=$\frac{40\sqrt{13}}{13}$
由△PAT≌△PCM，可得AT=CM．BM=TB，
∴AB+BC=$\frac{AT}{\;}$AT+TB+CM-BM=2AT=4$\sqrt{13}$+$\frac{40\sqrt{13}}{13}$，
∴AT=$\frac{46\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理以及推论、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用构建方程组的思想思考问题，属于中考压轴题．