Question

11、已知a，b为实数，且满足16a²+2a+8ab+b²-1=O，求3a+b的最小值．

Answer 1

分析：设m=3a+b，则b=m-3a，再把b代入16a²+2a+8ab+b²-1=O，整理得到关于a的一元二次方程，然后利用判别式得到关于m的不等式，解不等式得到m的范围，即可确定3a+b的最小值．

解答：解：设m=3a+b，则b=m-3a，
把它代入16a²+2a+8ab+b²-1=O，
∴16a²+2a+8a（m-3a）+（m-3a）²-1=O，
∴a²+2（m+1）a+m²-1=O，
∵a为实数，
∴△≥0，即4（m+1）²-4（m²-1）≥O，
解得m≥-1．
∴3a+b的最小值为-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了利用换元构建一元二次方程的方法．