Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点P的坐标为（1，），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小？若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知
，
解得：a=，b=-，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-；

（2）设点A（x₁，0），B（x₂，0），则y=x²-x-=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴|OA|=1，|OB|=3．又∵tan∠OCB==
∴∠OCB=60°，同理可求∠OCA=30°．
∴∠ACB=90°，
由旋转性质可知AC=BD，BC=AD，
∴四边形ADBC是平行四边形
又∵∠ACB=90°．
∴四边形ADBC是矩形；

（3）答：存在，
延长BC至N，使CN=CB．
假设存在一点F，使△FBD的周长最小．
即FD+FB+DB最小．
∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．
又∵CA⊥BN
∴FD+FB=FD+FN．∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．
又∵C为BN的中点，
∴FC=AC（即F为AC的中点）．
又∵A（-1，0），C（0，-）
∴点F的坐标为F（-，-）
答：存在这样的点F（-，-），使得△FBD的周长最小．
分析：（1）抛物线的顶点坐标为（1，），所以-=1，=-，又因为交y轴于点C（0，-），所以c=-，联立以上等式建立方程组求出啊、，b的值即可求抛物线的表达式；
（2）四边形ADBC的形状为矩形，设y=0，即（1）中抛物线的解析式中y=x²-x-=0，求出A、B的坐标，得到E（1，0），即可推出D的坐标，根据矩形的判定即可推出答案；
（3）存在，延长BC至N，使CN=CB．假设存在一点F，使△FBD的周长最小，即FD+FB+DB最小，因为DB固定长，所以只要FD+FB最小即可，再由已知条件和给出的数据求出点F的坐标即可．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，平行四边形的性质，中心对称图形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．