Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），在线段BC上取一点Q（不与点B、点C重合），作QN⊥x轴于N，设线段QN长为t．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求四边形ACQN的面积S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在y轴上有一点P，使△PQN为等腰直角三角形，求所有符合条件的t值；
（4）在直线QN上有一点M使MA+MC取得最小值3

5

，求点M的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设y=kx+b，把B、C两点的坐标代入可求得k、b的值，可求出直线BC的解析式；
（2）由条件可知∠ABC=45°，可表示出△BQN的面积，四边形ACQN的面积为△ABC与△BQN的面积差，可表示出S；
（3）分NQ为直角边和斜边两种情况分别讨论求解即可；
（4）作C点关于直线QN的对称点C′，可表示出C′的坐标，连接AC′交直线QN于点M，表示出AC′，解出t，可求得M点坐标．

解答：解：（1）设直线BC解析式为y=kx+b，由点B、C在函数图象上可得

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

．
所以直线BC的解析式为y=x-3；
（2）由OB=OC可知∠OBC=45°，
∴BN=NQ=t，
∴S_△BQN=

1

2

BN•NQ=

1

2

t²，
∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，
∴S=S_△ABC-S_△BQN=6-

1

2

t²，
∵Q点在BC上，
∴N点在OB上，
∴0＜t＜3，
所以S=6-

1

2

t²（0＜t＜3）；
（3）当PN=QN=t时，BN=PN=t，即2t=3，解得t=1.5，
当PQ=NQ=t时，则四边形ONQP为正方形，同理可求得t=1.5，
当PN=PQ时，此时点P在QN的垂直平分线上，

则可知OP=

1

2

NQ=

1

2

t，在Rt△BNQ中BQ=

2

t，在Rt△PNQ中PQ=

2

2

t，
∵∠PQN=∠BQN=45°，
∴∠PQB=90°，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PB²=PQ²+QB²=

5

2

t²，
在Rt△OBP中，由勾股定理可得PB²=OP²+OB²=

1

4

t²+9，
则有

5

2

t²=

1

4

t²+9，解得t=2或-2（舍去），
综上可知所有满足条件的t的值为1.5和2；
（4）作C点关于直线QN的对称点C′，连接AC′，交QN于点M，则此时MA+MC取得最小值，即AC′=3

5

，

过点A作AD⊥CC′交C′C的延长线于点D，则可知AD=OC=3，CD=AO=1，
由条件可知QN=BN=t，则ON=3-t，所以CC′=2（3-t）=6-2t，所以DC′=1+6-2t=7-2t
在Rt△ADC′中，由勾股定理可得：AC′²=AD²+DC′²，
即（3

5

）²=3²+（7-2t）²，解得t=0.5或t=6.5（舍去），
当t=0.5时，则ON=3-t=

5

2

，CC′=5，
所以M点的横坐标为

5

2

，C′点的坐标为（5，-3），
可求得直线AC′的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

，
当x=2.5时，代入可得y=-

7

4

，
所以M点的坐标为（

5

2

，-

7

4

）．

点评：本题主要考查一次函数和等腰三角形的性质、对称等的综合应用，待定系数法求函数解析式是常用方法，在（3）中分情况讨论、在（4）中确定出M点的位置是解题的关键．