Question

已知抛物线y=-x²-3x+4和抛物线y=x²-3x-4相交于A，B两点．点P在抛物线C₁上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C₂上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=-x²-3x+4和抛物线y=x²-3x-4相交于A，B两点，联立解方程组求得x、y的值，进而确定A、B的坐标．通过直角坐标系中两点间的距离公式求得AB的长．
（2）由（1）可知P点的横坐标取值介于A、B之间．当PQ∥y轴时，说明P、Q两点的横坐标相同，只要作纵坐标的差的绝对值，根据横坐标的取值，确定差的最大值即可．

解答：解：（1）由题意得

y=-x2-3x+4 y=x2-3x-4

，
解方程组得

x1=-2 y1=6

，

x2=2 y2=-6

；
∴点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．
于是AB=

(2+2)2+(-6-6)2

=4

10

．

（2）如图，
当PQ∥y轴时，设点P，Q的坐标分别为（t，-t²-3t+4），（t，t²-3t-4），-2＜t＜2，
因此PQ=2（4-t²）≤8，当t=0时等号成立，所以，PQ的长的最大值为8．
答：（1）线段AB的长为4

10

；（2）PQ长度的最大值为8．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．