Question

14．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在矩形ABCD内，记为点B′．
（1）求证：∠BB′C=90°；       
（2）求B′C的长度．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得出BE=B′E，BB′⊥AE，BF=B′F，由点是BC的中点可得出BE=EC=B′E，根据等腰三角形的性质可得出∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C，再根据三角形内角和为180°以及∠BB′C=∠BB′E+∠EB′C，即可得出∠BB′C=90°；
（2）根据勾股定理求出AE的长度，再利用三角形的面积求出BF的长度，从而得出BB′的长度，在Rt△BB′C中利用勾股定理即可求出B′C的长度．

解答 解：（1）证明：由折叠可知：BE=B′E，BB′⊥AE，BF=B′F．
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=B′E，
∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C，
又∵∠BB′C+∠B′CB+∠CBB′=180°，∠BB′C=∠BB′E+∠EB′C，
∴∠BB′E=$\frac{1}{2}$（∠BB′E+∠EB′C+∠B′CB+∠CBB′）=90°．
（2）∵在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3，∠ABE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5，BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{12}{5}$，BB′=2BF=$\frac{24}{5}$．
∵∠BB′C=90°，
∴B′C=$\sqrt{B{C}^{2}-BB{′}^{2}}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换中折叠问题、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据角的计算找出∠BB′E=$\frac{1}{2}$（∠BB′E+∠EB′C+∠B′CB+∠CBB′）=90°；（2）求出BB′的长度，再利用勾股定理求出B′C的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．