Question

14．如图，在?ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=$\frac{1}{2}$BC，连接DE，CF．
（1）求证：DE=CF；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），得出四边形CEDF是平行四边形，即可得出结论；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
又∵F是AD的中点，∴FD=$\frac{1}{2}$AD．
∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FD=CE．
又∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
∴DE=CF．
（2）解：过D作DG⊥CE于点G．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6．
∴∠DCE=∠B=60°．
在Rt△CDG中，∠DGC=90°，
∴∠CDG=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD=2．
由勾股定理，得DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴GE=1．
在Rt△DEG中，∠DGE=90°，
∴DE=$\sqrt{D{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．