Question

6．某商品的进价为每牛70元，售价为每件100元，每星期可卖出300件．市场调查反映：当价格不低于90元时，每件的售价每降价1元，那么每星期多卖10件；当价格低于90元且不低于80元时，每件的售价每降价1元，那么每星期多卖20件；设每件降价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）设每星期的利润的利润为w元，则当0≤x≤10时，当10＜x≤20时，列出函数关系在式求出最大值即可．

解答 解：（1）由题意得：y=$\left\{\begin{array}{l}{10x+300（0≤x≤10）}\\{20x+300（10＜x≤20）}\end{array}\right.$，
（2）设每星期的利润的利润为w元，
则当0≤x≤10时，w=（100-70-x）（10x+300），
即w=-10x²+9000，
∵a=-10＜0，
∴当x=0时，w_最大=9000，
即降价0元时，利润最大为9000元，此时销售量为300件，
当10＜x≤20时，w=（100-70-x）（20x+300），
即w=-20x²+300x+9000，
a=-20＜0，
其对称轴为直线x=7.5，∵10＜x≤20，x为整数，
∴当x=11时，w_最大=9880元，
即降价11元时，利润最大为9880元，销售量为520件．

点评 本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＞0，x=h时，y有最小值k等性质解决实际问题是解题的关键．