Question

6．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：图1中∠APB的度数等于150°，图2中∠PP′C的度数等于90°．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（-$\sqrt{3}$，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

Answer 1

分析 阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即为∠APB的度数；再利用全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质得出DF=$\sqrt{3}$CF，进而得出函数解析式即可．

解答 解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′²+P′C²=3²+4²=25，PC²=5²=25，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；
故答案为：150°；90°；
如图3，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD，

∵点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，1），
∴tan∠AOE=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=OD=2，∠AOE=30°，
∴∠AOD=60°．
∴△AOD是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，
∴∠CAD=∠OAB，
∴△ADC≌△AOB．
∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，
∴∠CDF=30°．
∴DF=$\sqrt{3}$CF．
∵C（x，y）且点C在第一象限内，
∴y-2=$\sqrt{3}$x，
∴y=$\sqrt{3}$x+2（x＞0）．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．