Question

12、已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c=0，则b²-4ac＞0；
②若方程两根为-1和2，则2a+c=0；
③若方程ax²+c=0有两个不相等的实根，则方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根；
④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　）

A、①②③

B、①②④

C、②③④

D、①②③④

Answer 1

分析：①观察条件，知是当x=1时，有a+b+c=0，因而方程有根．
②把x=-1和2代入方程，建立两个等式，即可得到2a+c=0．
③方程ax²+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，左边加上b²就是方程ax²+bx+c=0的△，由于加上了一个非负数，所以△＞0．
④把b=2a+c代入△，就能判断根的情况．

解答：解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，
∴△≥0，故错误；
②把x=-1代入方程得到：a-b+c=0 （1）
把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0  （2）
把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，
即：2a+c=0，故正确；
③方程ax²+c=0有两个不相等的实数根，
则它的△=-4ac＞0，
∴b²-4ac＞0而方程ax²+bx+c=0的△=b²-4ac＞0，
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若b=2a+c则△=b²-4ac=（2a+c）²-4ac=4a²+c²，
∵a≠0，
∴4a²+c²＞0故正确．
②③④都正确，故选C．

点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
2、对于给定的条件要仔细分析，向所求的内容转化．