Question

10．直线AB：y=-x+b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）直线EF：y=2x+m（m≠0）交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先把A（6，0）代入y=-x+b求出b=6，得到直线AB的解析式为y=-x+6，再计算自变量为0时的函数值即可得到B点坐标；
（2）先由OB：OC=3：1得到OC=2，则C（-2，0），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（3）先利用x轴上点的坐标特征得到D（-$\frac{m}{2}$，0），再利用两直线相交的问题分别解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$得到E点和F点坐标，接着根据三角形面积公式由S_△EBD=S_△FBD得到DE=DF，即点D为EF的中点，于是可判断点E和点F的纵坐标互为相反数，所以$\frac{m+12}{3}$+3m-12=0，然后解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）把A（6，0）代入y=-x+b得-6+b=0，解得b=6，
所以直线AB的解析式为y=-x+6，
当x=0时，y=-x+6=6，
所以B点坐标为（0，6）；
（2）∵B点坐标为（0，6），
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
设直线BC的解析式为y=px+q，
把B（0，6）、C（-2，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=6}\\{-2p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=3}\\{q=6}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=3x+6；
（3）存在．
当y=0时，2x+m=0，解得x=-$\frac{m}{2}$，则D（-$\frac{m}{2}$，0）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-6}{3}}\\{y=\frac{m+12}{3}}\end{array}\right.$，则E（$\frac{m-6}{3}$，$\frac{m+12}{3}$）；、
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=m-6}\\{y=3m-12}\end{array}\right.$，则F（m-6，3m-12），
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF，即点D为EF的中点，
∴点E和点F的纵坐标互为相反数，
∴$\frac{m+12}{3}$+3m-12=0，
∴m=2.4．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．解决第（3）个问题的关键是把面积关系化为线段之间的关系，从而得到点的坐标之间的关系．