Question

18．阅读下列问题：
$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}=\frac{{1×（\sqrt{2}-1）}}{{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}}=\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{{\sqrt{5}+2}}=\frac{{\sqrt{5}-2}}{{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}}=\sqrt{5}-2$．
（1）求$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为整数）的值．
（2）利用上面所揭示的规律计算：
 $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2010}+\sqrt{2011}}$+$\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2012}}$．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式，可分母有理化；
（2）根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的运算，可得答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）原式=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{（\sqrt{2011}+\sqrt{2010}）（\sqrt{2011}-\sqrt{2010}）}$+$\frac{\sqrt{2012}-\sqrt{20111}}{（\sqrt{2012}+\sqrt{2011}）（\sqrt{2012}-\sqrt{2011}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2011}$-$\sqrt{2010}$+$\sqrt{2012}$-$\sqrt{2011}$
=$\sqrt{2012}$-1
=2$\sqrt{503}$-1．

点评 本题考查了分母有理化，利用平方差公式分母有理化是解题关键．