Question

3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC²=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC²=CD•AC，于是有AD²=CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC-AD=1-x，由（1）的结论得到x²=1-x，然后解方程即可得到AD的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC²=CD•AC，
∴AD²=CD•AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC-AD=1-x，
∵AD²=CD•AC，
∴x²=1-x，解得x₁=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
即AD的长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．