Question

5．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x²+y²=z²的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（6，8，10），（9，12，15）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n²-1，z=n²+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；
（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．

解答 解：（1）请你再写出两组勾股数：（ 6，8，10），（ 9，12，15），
故答案为：6，8，10；9，12，15；
（2）证明：x²+y²=（2n）²+（n²-1）²
=4n²+n⁴-2n²+1
=n⁴+2n²+1
=（n²+1）²
=z²，
即x，y，z为勾股数．

点评 本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．